面面垂直的性质定理
面面垂直性质定理：
定理1
如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
已知：α⊥β，α∩β=l，O∈l，OP⊥l，OP?α。
求证：OP⊥β。
证明：过O在β内作OQ⊥l，则由二面角知识可知∠POQ是二面角α-l-β的平面角。
∵α⊥β
∴∠POQ=90°，即OP⊥OQ
∵OP⊥l，l∩OQ=O，l?β，OQ?β
∴OP⊥β
定理2
如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点作垂直于第二个平面的直线在第一个平面内。
已知α⊥β，A∈α，AB⊥β。求证：AB?α
证明：假设AB不在α内，则AB与α只有一个交点A。（因为不可能直线的一部分在平面内而另一部分在平面外，即直线的两点在面上则直线就在面上）
当A在α和β的交线外时，则B是垂足
∵AB⊥β于B
∴B∈β
设α∩β=MN，过B在β内作BC⊥MN，由定理1可知BC⊥α
连接AC
∵AC?α
∴AC⊥BC
但AB⊥β，BC?β
∴AB⊥BC
即在平面ABC上，过一点A有AB、AC同时垂直BC，与垂直定理矛盾。
当A在α和β的交线上时，A是垂足。
设α∩β=MN，在α内作AC⊥MN，由定理1可知AC⊥β
但AB⊥β，即过A有两条直线AB、AC与β垂直，这和线面垂直的性质定理矛盾
∴假设不成立，AB?α
定理3
如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。
已知：α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l。求证：l⊥γ
证明：设α∩γ=a，β∩γ=b
∵a∩b=l
∴a与b相交
设a∩b=P，则P∈l
若l与γ不垂直，那么在α内过P作PA⊥a，由定理1可知PA⊥γ
同理，在β内作PB⊥b，就有PB⊥γ
于是过P有两条直线与γ垂直，与线面垂直的性质定理矛盾。
∴假设不成立，l⊥γ
推论
三个两两垂直的平面的交线两两垂直。
已知：α⊥β，β⊥γ，γ⊥α，且α∩β=a，β∩γ=b，γ∩α=c
求证：a⊥b，a⊥c，b⊥c
证明：∵α∩β=a，α⊥γ，β⊥γ
∴a⊥γ（定理3）
∵b?γ，c?γ
∴a⊥b，a⊥c
同理可证b⊥c
定理4
如果两个平面互相垂直，那么一个平面的垂线与另一个平面平行。（判定定理推论1的逆定理）
已知α⊥β，a⊥β，a?α。求证a∥α
证明：假设a与α不平行，那么他们相交。设交点是A
又设a⊥β，垂足为B。α∩β=l
在α内作AC⊥l，由定理1可知AC⊥β
则过点A有AB、AC与β垂直，与线面垂直的性质定理矛盾
∴a∥α
推论
如果两个平面互相垂直，那么分别垂直于这两个平面的两条垂线也互相垂直。（判定定理推论2的逆定理）
可以根据定理4先证明一个平面的垂线平行于另一个平面，再根据线面平行的性质证明这条直线与另一个平面的垂线垂直。
延伸阅读
面面垂直可以推出什么
1、如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面；2、如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内；3、如果两个平面互相垂直，那么一个平面的垂线与另一个平面平行。
面面垂直可以推出什么
定理证明
定理：一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。
几何描述：若a⊥β，a?α，则α⊥β
证明：任意两个平面关系为相交或平行，设a⊥β，垂足为P，那么P∈β
∵a?α，P∈a
∴P∈α
即α和β有公共点P，因此α与β相交。
设α∩β=b，∵P是α和β的公共点
∴P∈b
过P在β内作c⊥b
∵b?β，a⊥β
∴a⊥b，垂足为P
又c⊥b，垂足为P
∴∠aPc是二面角α-b-β的平面角
∵c?β
∴a⊥c，即∠aPc=90°
根据面面垂直的定义，α⊥β
面面垂直的正确写法
面面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面．符号表示：如果α⊥β，α∩β=l，a?β，a⊥l，那么a⊥α．故答案为：如果α⊥β，α∩β=l，a?β，a⊥l，那么a⊥α．
线面,面面平行与线面,面面垂直如何判定
几何判定，
线面垂直：垂直于平面内不平行两条直线的直线垂直于该平面。设有直线l,m,n，平面α。若直线m，n不平行在面α内，且l⊥m，l⊥n，那么l⊥α。
面面垂直：两平面内各有一条直线，它们彼此垂直，且都垂直于两平面的交线，那么两平面垂直。设面α，β，线m在α内，线n在β内，l是α和β的交线，若l⊥m，l⊥n，m⊥n，则α⊥β。
线面平行：一个平面内的一条直线，如果它平行于该平面与另一平面的交线，则这条直线平行于另一平面。设面α，β，线m在α内，l是α和β的交线，若l∥m，则m∥β。
面面平行：两平面内各有两条相交的直线对应平行，则两平面平行。设面α，β，线m，n在α内，线k，l在β内，且m，n不平行，k，l不平行，若m∥k，n∥l，则α∥β。
空间向量判定，
线面垂直：直线的方向向量l与平面的法向量n共线，则直线垂直平面。
面面垂直：两平面的法向量m和n数量积为0，则两平面垂直。
线面平行：直线的方向向量l与平面的法向量n数量积为0，且直线方程不满足平面方程，则直线与平面平行。
面面平行：两平面的法向量m和n共线，则两平面平行。
面面垂直的判定方法有哪些
1、在一个平面内做2条相交直线，另一个平面内有一条直线垂直于这两条相交直线，则面面垂直。
2、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，则面面垂直。
3、如果一个平面经过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。
面面垂直的证明方法
1、定义法：如果两个平面所成的二面角为90°，那么这两个平面垂直。
2、判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
3、如果一个平面内任意点在另外一个平面的射影均在这两个平面的交线上，那么垂直。
4、如果N个互相平行的平面有一个垂直于一个平面，那么其余平面均垂直这个平面。
1，面与面的垂直，其实就是两个面法向量的的垂直关系。即是读者要找到两个面的法向量，然后判别两个法向量的位置关系即可。
2，分别算出两个平面的法向量，n1，n2。找法向量一般根据平面的书写形似即可找到。
3，两个面的法向量之间的向量积结果是零的话，就说明两个平面是垂直的。
面面垂直的证明方法：a⊥β，aα，则α⊥β。
1、如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。已知直线必须垂直于两平面的交线，才满足，如果平面内的这条直线与交线不是90度，那么它和另一平面也不是90度。
2、如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。公垂线段的长度是唯一的，把这公垂线段的长度叫作两个平行平面间的距离。显然这个距离也等于其中一个平面上任意一点到另一个平面的垂线段的长度。两条异面直线的距离、平行于平面的直线和平面的距离、两个平行平面间的距离，都归结为两点之间的距离。
3、如果两个平面互相垂直，那么一个平面的垂线与另一个平面平行。不在同一直线上的3点组成一平面是公理，所以取平行线上任意三点组成一个平面（1、2点在A线上，点3在B线上）。然后证明平行线上的任何第四点（可能在A线，也可能在B线上），必定属于这个平面就好了。如果第四点在A线上：第四点与另两个点在同一条直线上，所以必定属于这个平面。
面面垂直的判定及性质定理
性质：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面（面面垂直线面垂直）。判定：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直（线面垂直面面垂直）。
1面面垂直判定定理
定理
一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。
推论1
如果一个平面的垂线平行于另一个平面，那么这两个平面互相垂直。
推论2
如果两个平面的垂线互相垂直，那么这两个平面互相垂直。（可理解为法向量垂直的平面互相垂直）
2面面垂直性质定理
定理1
如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
定理2
如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点作垂直于第二个平面的直线在第一个平面内。
定理3
如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。
推论
三个两两垂直的平面的交线两两垂直。
定理4
如果两个平面互相垂直，那么一个平面的垂线与另一个平面平行。（判定定理推论1的逆定理）
推论
如果两个平面互相垂直，那么分别垂直于这两个平面的两条垂线也互相垂直。（判定定理推论2的逆定理）
